新阐述永别高深而刚劲的“模体式”

使用“令东说念主盖头换面的陈旧”用具，数学家们管理了50年前对于怎样对模体式（一类遑急函数）进行分类的猜思，这对数论和表面物理产生了影响。

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这个模体式的图形使用了神志和高度形貌了其复数值。

在一个新的阐述中，一个经久被疏远的数学对象终于成为东说念主们关切的焦点。

乍一看，模体式——几个世纪以来，其丰富的对称性蛊卦了数学家的函数——似乎仍是引起了富余的关切。它们出当今各式各种的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年阐述费马大定理的要津因素，该定领路决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹撮要中阐扬着中枢作用，这是一个不停发展“大长入数学表面”的捏续奋发。它们以致被用来究诘弦表面和量子物理学中的模子。

但是在这些高下文中出现的模体式属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模体式领有额外的结构，使它们更容易究诘。但是更一般的“非同余”模体式远远脱落它们的友好的同余模体式。“若是你立地取一个模体式，那它是同余模体式的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的原理遭受同余模体式，不然你不要指望。它们异常荒僻。

然则，数学家对非同余模体式知之甚少，尽管它们无处不在。“它们都备是高深的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的施展很难，况且为究诘在非同余情况下判辨模体式而设立的用具也很难。这让数学家们不细目他们应该试图阐述什么。

然则，对于非同余模体式的一个主要猜思经久以来一直很凸起：就像沙漠中一个零丁的、不巩固的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜思提倡者之一，zzllrr小乐译注）瞩目到非同余模体式似乎有一个绝顶明白的性质，将它们与同余模体式永别开来。应该有这样一种公然的容颜永别两者“竟然异常令东说念主讶异，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模体式异常不同，因为非同余模体式缺少同余模体式所具有的对称性。但这些各别固然遑急，但可能很阴事，难以察觉。

跷足而待，这些各别的明白根据无庸赘述。

Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察其后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜思。若是这是竟然，它将允许数学家在大部分未设立的非同余对象界限站稳脚跟。通过提供一种省略的标准来识别给定的模体式属于哪个类，该猜思还不错将表面物理学中的一个主要名目 - 旨在领路称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，莫得东说念主能阐述这少量。最终，在 2021 年底，三位数学家到手了。他们的阐述似乎虚构而来，接受了莫得东说念主守望在这个究诘界限看到的技巧。数学家和物理学家当今驱动探索这项责任的效果。

对称性和结构

非同余模体式并不老是被左迁到边际。

在19世纪，数学家刚刚驱动发展模体式的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称呼 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种画图复数的标准，复数分为两部分：实数和虚数。模体式输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模体式经常使用此映射进行形貌。）

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同余模体式（左）具有非同余模体式（右）所缺少的附加结构。

模体式的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊麇集或“群”界说的。在模体式中，这四个数字永久是整数。至关遑急的是，与细目其某些属性的矩阵预计的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无穷多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对省略的轨则来形貌。举例，在扫数矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素都比11的倍数多 1。

不错用这些关系界说的群——以及与这些群预计的模体式——是被平庸究诘的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的麇集弗成以这种容颜用很好的轨则来表征，这使得它们偏激预计的模体式不一致。

直到 1930 年代后期——梗概在第二次宇宙大战驱动时——同余模体式的究诘才驱动超越非同余模体式的究诘。就在当时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）设立了一个用具箱，使他梗概细目模体式的好多属性，并将它们与其他遑急的数学对象预计联。

Hecke的标准只适用于同余群偏激模体式。非同余群缺少使Hecke用具箱灵验的额外结构。“当你移动到非同余宇宙中时，你在同余宇宙中领有的这个东西就会灭绝，”Franc说。

因此，非同余模体式似乎注定要永远被疏远。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，潜藏在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的互助者Bryan Birch（BSD猜思另一共同提倡者，zzllrr小乐译注）也曾写说念的那样，“固然结构更高深，但似乎真实雷同丰富。”但是当波及到看望这种结构时，数学家们却不知所措。他们以致不知说念从那里驱动。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。

整洁的圭臬

这两位数学家思知说念更多对于非同余模体式，以及他们可能荫藏的任何奥妙。

“这老是数学跳跃的容颜，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你究诘具有异常特殊属性和更多结构的东西。然后你去详细它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。

为了究诘给定的模体式，数学家经常将其表现为称为q伸开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无穷和，然后分析该伸开的统共。人所共知，若是给定的模体式是同余的，那么统共的分母永远不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer狡计了q伸开式的分数和模体式的分数。当他们这样作念时，他们瞩目到，若是模体式是不同余的，那么其预计数列中的分母就会无收尾地增长。“他们履行上不错对这些高深的非同余体式说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东说念主女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高档究诘院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，禀报了“一个一己之见的思法”：他思哄骗他们一直在究诘的技巧来管理一个都备不预计的问题，即无界分母猜思。

永别这两种类型的模体式竟然这样容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察效果，标明无界分母可能黑白同余模体式的浩瀚符号。这个猜思“异常惊东说念主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的圭臬来决定一个模体式是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个异常浅显的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这真实好得令东说念主难以置信，”他补充说。“东说念主们竟然不指望出现这样的遗址。”

事实上，莫得东说念主能阐述无界分母的猜思。李文卿和其他少数东说念主梗概阐述对于非同余模体式的特定族是正确的，但数学家不知说念怎样处理一般情况。

然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高档究诘所的Vesselin Dimitrov一说念发布了一份50页的阐述。“这太神奇了，竟然很出乎预思，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对怎样处理这个问题莫得任何思法。”

作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成纯熟说念路蚁集的第一步。“咱们通过为最省略的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了浅近的孝顺，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并莫得入辖下手管理无界分母猜思。在2019年底，他们但愿阐述某个数字（黎曼zeta函数的访佛值）是极端的——就像2的平常根雷同，它弗成写因素数。（他们的最终蓄意是阐述这个数字和其他访佛的数字是超越的，这意味着，与数字π和e雷同，它们弗成写为具有整数统共的多项式方程的解。）

从名义上看，这个问题是都备无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东说念主发了一封电子邮件，他在电子邮件中形貌了 “一己之见的思法”：也许他们在畴昔一年中设立的技巧不错再行用于阐述无界分母猜思。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了阐述。

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在阐述了无界分母猜思之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）不息与她的两位合著者互助，究诘领先引发阐述的问题。“咱们正在奋发完成咱们驱动的事情，”她说。

起先，他们接洽了两个空间：扫数具有有界分母的模体式的空间，以及扫数同余模体式的空间。根据无界分母猜思，这两个空间应该是调换的。由于空间称心某些属性，数学家只需要阐述它们的大小调换。这样作念将自动表现它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地狡计第二个空间的大小，从而得到一种同余模体式的拘束计数。但是很繁重到第一个空间的大小臆测。他们必须集结好多不同的技巧——包括来自超越数论的技巧。

使用这些标准，他们标明具有有界分母的模体式的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模体式的空间大小略大。尽管如斯，这一步“照实是阐述的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的意识智商作念到这少量。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的容颜阐述了这种空间大小的界，可能给他们的技巧带来更平庸的哄骗。）

“这黑白常古典、妍丽的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三东说念主需要消弱两个空间之间的差距。这样作念将细目任何具有有界分母的模体式必须是同余的。

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因此，他们假定了相背的情况：存在具有有界分母的非同余模体式。根据界说，它将生涯在Calegari、Dimitrov和唐试图消弱的症结中。然后，这三东说念主标明，这种非同余模体式的存在自动表现了好多其他具有有界分母的非同余模体式的存在。仿佛整片丛林都是从那颗种子长出来的。

但他们仍是细目了症结的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余体式。

这意味着即使是一种这样的体式也不可能存在。他们阐述了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜思。

数学家发现责任中使用的技巧比效果自己更深嗜。“这些思法以前从未用于究诘模体式的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模体式的究诘领先是复分析界限的一部分，但目下的责任一直是数论和代数几何的界限。他说，这篇新论文符号着对复分析的回顾：“这是一个令东说念主盖头换面的陈旧不雅点。

寻找新表面

数学家并不是惟一双无界分母猜思感到昌盛的东说念主。它也出当今表面物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer驱动的故事同期伸开。数学家们瞩目到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模体式之间有一种奇怪的预计。j函数的统共精准地反馈了魔群的某些性质。

其后的究诘标明，这种预计是由于群和模体式都与称为二维共形场论的遑急粒子相互作用模子预计。

但是，将魔群与j函数预计起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。固然这些表面莫得形貌咱们生涯的天地，但领路它们不错对更现实的量子场论的举止产生新的见地。

因此，物理学家不息通过不雅察它们预计的模体式来究诘共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模体式观念，称为向量值模体式。

为知道解特定共形场论的情况，你必须阐述它的模体式是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错驱动形貌共形场论，以致不错发现你不知说念要寻找的新场论。这对于对扫数共形场论进行分类的捏续奋发尤其遑急 - 物理学家称之为模邻接的名目。

“一朝你知说念它是一个同余模体式，它使你梗概在这个名目中取得浩大的跳跃，”Mason说。

物理学家设立了一个框架，允许他们为正在究诘的模体式假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学阐述——固然其他数学家其后梗概提供这样的阐述，但他们的论点只在某些环境中灵验。根据Mason的说法，它还波及通往同余的“一条异常盘曲、犬牙交错的说念路”，尽管他也指出，这条犬牙交错的说念路产生了遑急的见地。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜思的阐述冲破了这一切。这是因为，事实阐述，与共形场论预计的模体式老是具有整数统共。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母永久是有界的。由于无界分母猜思指出有界分母仅与同余模体式预计，因此不再需要作念出假定。“你以致不需要了解[共形场论]，”唐说。新的阐述会自动为扫数这些情况提供同余性 —— 以免费的容颜。

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芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）究诘模体式和预计数学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。当今终于管理了。

“这竟然是一个遗址，”Mason说。“这仅仅遗址般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他仍是驱动将效果哄骗到我方的责任中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我思要管理的效果提供了一个异常受宽饶的捷径。它削减了大都我无法看到的潜在责任。”

它还将模邻接名目和其他效果置于更刚劲的数学基础上。“这将使数学家梗概再行阐述[以前的]效果，或者服气它们，”Mason说。

“我以为这竟然会产生影响，绝顶是在数学方面，仅仅竟然，竟然把事情预计起来，真确地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证光泽的一年里，Calegari、Dimitrov和唐不息他们的互助。他们当今又回到了超越数论中领先引发他们对猜思兴致的问题类型。“咱们正在奋发完成咱们驱动的事情，”唐说。事实上，他们仍是用他们的技巧来阐述几个感兴致的数字是极端数。

“他们竟然把[标准]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到异常昌盛。”

这些标准也可能适用于数论中的其他问题。

撇开技巧不谈，无界分母猜思的管理符号着更好地领路非同余模体式的第一个遑急里程碑之一。“这是一个了不得的建设，咱们不错通过这种容颜在不同余体式上取得一些进展，”Franc说。“我对畴昔10年，20年感到昌盛，望望会发生什么。”

李文卿，Voight和其他东说念主仍是驱动寻找出当今这些高深模体式分母中的数字景观。他们但愿通过这样作念，不错找到更深眉目结构的表现。

“这个无界分母的猜思仅仅一个驱动，”李文卿说。

作家：Jordana Cepelewicz 2023-3-9

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